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浙江省教育局統一考試模擬試題-浙江師范大學第五屆初等數學競賽

浙江師范大學第五屆初等數學競賽 暨浙江省教育局統一考試模擬試題 暨浙江省教育局統一考試模擬試題
本試卷分為第Ⅰ 和第Ⅱ 兩部分, 本試卷分為第Ⅰ卷(共 50 分)和第Ⅱ卷(共 100 分)兩部分,滿分 150 分, 分鐘,請在答題紙上作答,在試卷上作答無效。 考試時間為 120 分鐘,請在答題紙上作答,在試卷上作答無效。

第Ⅰ卷(共 50 分)
小題, 一、選擇題:本大題共 10 小題,每小題 5 分,共 50 分,在每小題給出的四個選 選擇題: 項中,只有一項是符合題目要求的。 項中,只有一項是符合題目要求的。 (1)滿足 M ? {a1, a2, a3, a4},且 M∩{a1 ,a2, a3}={ a1·a2}的集合 M 的個數是
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

(2)設 z 的共軛復數是 z ,或 z+ z =4,z· z =8,則 (A)1 (B)—i

z 等于 z
(D) ±i

(C)±1

π π (3)函數 y=lncosx(- <x< )=的圖象是 2 2

(4)設函數 f(x)=|x+1|+|x-a|的圖象關于直線 x=1 對稱,則 a 的值為 (A) 3 (B)2 (C)1 (D)-1 (5)已知 cos(α-

π 4 7π )+sinα= 3 , 則 sin(α ? )的值是 6 5 6

(A)—

2 3 5

(B)

2 3 5

(C)—

4 5

(D)

4 5

(6)右圖是一個幾何體的三視圖,根據圖中數據,可得該幾 何體的表面積是 (A)9π (B)10π (C)11π (D) 12π (7)在某地的奧運火炬傳遞活動中,有編號為 1,2,3,…,18 的 18 名火炬手.若從中任 選 3 人,則選出的火炬手的編號能組成 3 為公差的等差數列的概率為 (A)

1 51 1 (C) 306

1 68 1 (D) 408
(B)

(8) X(

1
3

)12 展開式中的常數項為 (B)1320 (C)-220 (D)220

x
5 ,焦點在 X 軸上且長軸長為 26.若曲線 C2 上的點到橢圓 C1 的 13

(A)-1320 (9) 設橢圓 C1 的離心率為

兩個焦點的距離的差的絕對值等于 8,則曲線 C2 的標準方程為 (A)

x2 y2 ? =1 4 2 32 x2 y2 ? =1 32 4 2

(B)

x2 y2 ? 2 =1 13 2 5 x2 y2 ? 2 =1 13 2 12

(C)

(D)

(10)已知圓的方程為 X2+Y2-6X-8Y=0.設該圓過點(3,5)的最長弦和最短弦分別為 AC 和 BD,則四邊形 ABCD 的面積為 (A)10 6 (B)20 6 (C)30 6 (D)40 6

第Ⅱ卷(共 100 分)

小題, 二、填空題:本大題共 6 小題,每小題 5 分,共 30 分。 填空題:
(11) 已知 a, c 為△ABC 的三個內角 A, C 的對邊, b, B, 向量 m= 3 ,?1 )n= ( , (cosA,sinA) . 若 m⊥n,且 acosB+bcosA=csinC,則角 B=

x2 y2 + 2 =1 2 b (12) 在平面直角坐標系 xOy 中,橢圓 a (a>b>0)的焦距為 2c,以 O 為圓心,

? a2 ? P ? ,? 0 ? c ? 作圓 M 的兩條切線互相垂直,則橢圓的離心率 A 為半徑作圓 M,若過
是 .

(13)若不等式|3X-B|<4 的解集中的整數有且僅有 1,2,3,則 b 的取值范圍為 (14)在平面直角坐標系 xOy 中,若 D 表示橫坐標與縱坐標的絕對值均不大于 2 的點構成 的區域,E 表示到原點的距離不大于 1 的點構成的區域,向 D 內隨機地投一點,則落在 E 中的概率 (15)以下是有關新課程改革的命題,請判斷正誤。 (每空 1 分) 1、新課程改革實際上就是新一輪的教材改革。 ) ( 2、新課程改革的核心目的是培養全面發展的人。 ) (

3、新課程在小學階段是以分科課程為主,在初中階段是以綜合課程為主。 ) ( 4、新課程把中小學教材由“國定制”改為“國審制” ,形成了教材編寫、出版、選用混亂 的局面,不利于教師把握教學和考試的標準。 ) ( 5、 《綱要》提出的要使學生“養成健康的審美情趣”的培養目標,只能在語文、美術、音 樂課中才能實現,其他課程沒有辦法培養學生的審美情趣。 ) ( (16) 已知 x + y = 1,( x > 0, y > 0) ,求

1 2 + 的最小值. x y

解: ∵ x + y = 1,( x > 0, y > 0) ,∴令

x = cos 2 θ , y = sin 2 θ ,



1 2 1 2 + = + 2 = tan 2 θ + 2cot 2 θ + 3 ≥3+2 2 . 2 x y cos θ sin θ
1 2 2 ? 1, y = 2 ? 2 時, + 的最小值為 3+2 2 . x y
(2 分) (2 分) (1 分)

∴當且僅當 x =

試說出: (1)此題涉及的主要知識點是 (2)此題的解題過程用到的數學方法有 (3)此題的解題思路體現的數學思想是

小題, 三、綜合題:本大題共 6 小題,共 70 分。 綜合題:
(17)概率統計(本小題滿分 12 分) )概率統計( 甲乙兩隊參加奧運知識競賽,每隊 3 人,每人回答一個問題,答對者為本隊贏得一分, 答錯得零分。假設甲隊中每人答對的概率均為

2 ,乙隊中 3 人答對的概率分別為 3

2 2 1 , , 且各人正確與否相互之間沒有影響.用ε表示甲隊的總得分. 3 3 2
(Ⅰ)求隨機變量ε分布列和數學期望; 分) (4 (Ⅱ) 用 A 表示“甲、乙兩個隊總得分之和等于 3”這一事件,用 B 表示“甲隊總得分大 于乙隊總得分”這一事件,求 P(AB)。 分) (8

.(18) 空間幾何 (本小題滿分 12 分) 本小題滿分 如圖,已知四棱錐 P-ABCD,底面 ABCD 為菱形,PA⊥平面 ABCD, ∠ABC = 60° ,E,F 分別是 BC, PC 的中點. (Ⅰ)證明:AE⊥PD; (4 分) (Ⅱ) H 為 PD 上的動點,EH 與平面 PAD 所成最大角的正 若 切值為

6 ,求二面角 E—AF—C 的余弦值。 分) (8 2

(19)函數論(本小題滿分 14 分) )函數論( 已知函數 f ( x) =

1 + a ln( x ? 1), 其中 n∈N*,a 為常數. (1 ? x) n

(Ⅰ)當 n=2 時,求函數 f(x)的極值; 分) (6 (Ⅱ)當 a=1 時,證明:對任意的正整數 n,當 x≥2 時,有 f(x)≤x-1。 分) (8

(20)解析幾何(本小題滿分 16 分) )解析幾何( 已知傾斜角為 45° 的直線 l 過點 A(1 , ? 2) 和點 B , B 在第一象限, | AB |= 3 2 。 (1) 求點 B 的坐標; 分) (4

(2)若直線 l 與雙曲線

C:

x2 ? y2 =1 2 (a > 0) 相交于 E 、 F 兩點,且線段 EF 的中點坐 a

標為 (4 , 1) ,求 a 的值; 分) (6 (3)對于平面上任一點 P ,當點 Q 在線段 AB 上運動時,稱 | PQ | 的最小值為 P 與線段

AB 的距離. 已知點 P 在 x 軸上運動,寫出點 P (t , 0) 到線段 AB 的距離 h 關于 t 的函數關系
式。 分) (6

字左右的解答) (21)數學教學法(本小題滿分 10 分,請做 100 字左右的解答) )數學教學法( 俗話說:一個良好的開端,等于成功的一半。因此,有經驗的老師都非常重視每節課的“導 言”設計。好的設計能吸引學生的注意力。但新課的引入既要注重數學本質,又要注意適度 形式化,引入合情合理,要注意直觀性、趣味性、啟發性和鋪墊性。請為高一數學上冊第三 章《數列》的第三節“等差數列求和”一節設計一個“導言” 。

心理( 左右的解答 的解答, (22)教師職業心理(本小題滿分 6 分,請選擇一題做 60 字左右的解答,兩題都答按照第 )教師職業心理 一題記分) 一題記分) 1.有一位名人曾經說:如果把職業當成工作,那么你將一事無成,如果把職業當成事業, 你將有所成就。你有怎么的理解? 2.在你的學生時代,你對教育存在著哪一種遺憾,如果你作為老師,你會怎樣讓學生遠離 這種遺憾?


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