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3.1 一維連續型隨機變量及其分布_圖文

第三章

連續型隨機變量

第三章 3.1 一維連續型隨機變量及其分布 一維連續型隨機變量及其分布 連續型 3.1.1、 3.1.1、一維概率密度 3.1.2、 3.1.2、一維連續型分布函數

3.1.1 一維概率密 度 對于r.v. X,若存在非負可積函數 , 非負可積函數f(x), 定義 對于 ,若存在非負可積函數 (-∞<x<+∞),使對任意實數 ,b(a<b),都有 ∞ ∞ ,使對任意實數a, ,
b

P ( a < X ≤ b )= ∫ f ( x ) d x
a

則稱X為連續型隨機變量, 則稱 為連續型隨機變量, f(x)為X的概率 為 的 密度函數,簡稱概率密度 密度函數 概率密度或 函數. 密度函數,簡稱概率密度或密度函數 常記為X~ 常記為 ~ f(x) , (-∞<x<+∞) ∞ ∞

密度函數的幾何意義為 密度函數的幾何意義為 幾何意義

P ( a < X ≤ b )= ∫ f ( x ) dx
a

b

軸所圍成的曲邊梯形面積。 即 y=f(x),x=a,y=b,x軸所圍成的曲邊梯形面積。 軸所圍成的曲邊梯形面積

f (x)

密度函數的性質
(1) 非負性 (2) 歸一性 f(x)≥0,(-∞<x<∞); ≥ , ∞ ∞;

1
0 x



+∞

?∞

f ( x ) dx=1 .

注:1. 性質 、(2)是密度函數的充要性質; 性質(1)、 是密度函數的充要性質; 是密度函數的充要性質

2.密度函數并不唯一;

3.連續型隨機變量取單個值的概率為零 連續型隨機變量取單個值的概率為零 連續型隨機變量取單個值
0 ≤ P ( X = c ) ≤ P (c ? h < X ≤ c ) = ∫
c c?h

f ( x)dx

h→0 ,

+



c

c?h

f ( x)dx → 0,

即得P(X=c)=0。 。 即得

4.對任意實數 4.對任意實數c,若X~ f(x) ,(-∞<x<∞),則 P{X=c}=0。于是

P{a < X < b} P{a ≤ X < b} = =P{a ≤ X ≤ b} ∫ f (x)dx =
a b

推廣到一般,有定理 推廣到一般,有定理3.1.1

是連續型隨機變量, 例:設 X 是連續型隨機變量,其密度函數為
?c 4 x ? 2 x 2 f (x ) = ? 0 ?

(

)

0< x<2 其它

求:⑴.常數

. c ; ⑵. P {X > 1}

解: ⑴.由密度函數的性質


2 0

+∞

?∞

f ( x ) dx = 1
+∞

得 1= ∫
2

+∞

?∞

f ( x ) dx =

?∞

∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx
2

0

8 ? 2 2 3? = ∫ c(4 x ? 2 x 2 )dx= c? 2 x ? x ? = c 3 3 ?0 ? 0 3 所以, c= 8

2

⑵.P{X > 1} =

+∞

∫ f (x )dx = ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx
1 1 2

2

+∞

=∫

2

1

3 2 ( 4 x ? 2 x ) dx 8
2

3? 2 2 3? = ? 2x ? x ? 8? 3 ?1
1 = 2

3.1.2 一維連續型分布函數
是連續型隨機變量, 若X是連續型隨機變量,其概率密度函數為 是連續型隨機變量 其概率密度函數為f(x),則X , 的分布函數為
x

F ( x) = P( X ≤ x) =



?∞

f (t ) dt ,

? ∞ < x < +∞

P(a < X ≤ b) = F (b) ? F (a) = ∫ f ( x)dx
a

b

可以不連續, 注:盡管密度函數f(x)可以不連續,但對連續型隨機變 盡管密度函數 可以不連續 量而言,分布函數F(x)一定是連續并唯一的。 一定是連續并唯一的 量而言,分布函數 一定是連續并唯一 定理: 隨機變量X的分布函數為F(x), 定理:設隨機變量X的分布函數為F( ),密度函數 F( ),密度函數 的連續點, 為f(x),若x是f(x)的連續點,則 若 是 的連續點

dF ( x ) = f (x) dx

若f(x)在x0處連續,則有 F ′( x) x = x = f ( x0 ) 在 處連續,
0

結合 分布 函數 來看 f(x)在x0處連續,且?h充分小時,有 在 處連續, 充分小時, 充分小時
P ( x0 < X ≤ x0 + ?h) ≈ f ( x0 ) ? ?h

類似 于線 密度

P ( x0 < X ≤ x0 + ?h) = ∫
f ( x0 ) ≈

x 0 + ?h

P( x0 < X ≤ x0 + ?h) ?h

x0

f ( x)dx ≈ f ( x0 ) ? ?h

f(x)稱為概率密度的原由。 稱為概率密度的原由。

例: 設隨機變量 X 的密度函數為

0 ≤ x <1 ? x ? f ( x ) = ?2 ? x 1 ≤ x < 2 ? 0 其它 ?

試求 X 的分布函數.

解:

當 x < 0 時,F ( x ) =

當 0 ≤ x < 1時,F ( x ) =
x

?∞

∫ f (t )dt
?∞

x

=0
?∞



x

f (t )dt =

∫ f (t )dt + ∫ f (t )dt
0

0

x

= ∫ tdt
0

x2 = 2

當1 < x < 2 時,F ( x ) = ∫
0

x

?∞

f ( t ) dt
1 x

=

1 2 = ∫ tdt + ∫ (2 ? t )dt = ? x + 2 x ? 1 2 0 1
當x ≥ 2 時,F ( x ) =
?∞

?∞ 1

∫ f (t )dt + ∫ f (t )dt + ∫ f (t )dt
0 1

x

∫ f (t )dt
1 2

x

=

= ∫ tdt + ∫ (2 ? t )dt
0 1

?∞ 1

∫ f (t )dt + ∫ f (t )dt + ∫ f (t )dt + ∫ f (t )dt
0 2 1 2

0

x

=1

綜上所述,可得隨機變量 X 的分布函數

? ? ? ? F (x ) = ? 2 x ?? ? 2 ? ?

0 2 x 2 1

x≤0 0 < x ≤1

+ 2x ?1 1 < x < 2 2≤ x

例: 設r.v. X的分布函數 的分布函數
?1 x ? 2 e , ∞ < x < 0, ? 1 π ? F ( x ) = ? A sin x + ,0 ≤ x < , 2 2 ? π ? ?1, x ≥ 2 . ?

的值;( 求:(1)A的值;( )概率 :( ) 的值;(2)概率P(-2<X<1); 的密度函數。 (3)X的密度函數。 ) 的密度函數

例:設連續型隨機變量 X 的分布函數為 1 1 (? ∞ < x < +∞ ) F (x ) = + arctgx 2 π

試求 X 的密度函數.

解: X 的密度函數為 f ( x ),則 設
′( x ) = 1 ? f (x ) = F

1 2 π 1+ x

(? ∞ < x < +∞ )

練習:設隨機變量 的概率密度為 練習:設隨機變量X的概率密度為

?a ? 3, f ( x) = ? x ? 0, ?

x > 1; x ≤ 1.

(1) 求常數a; (2) 求X的分布函數F(x); (3) 求P{0≤X≤2}。

解: (1) 由 ∫
+∞

+∞ ?∞

f ( x ) dx = 1, 可得

a ∫1 x 3 dx = 1 a ? 2 +∞ a ?? x = =1? a = 2 1 2 2 從而 ,
? 0, x ≤ 1; ? f (x) = ? 2 ? x 3 , x > 1. ?

x ≤ 1; ? 0, ? (2) F ( x ) = ? x 2 ? ∫1 t 3 dt , x > 1. ? x ≤ 1; ? 0, ? 即 F ( x) = ? 1 ?1 ? x 2 , x > 1. ?
(3) P{0 ≤ ξ ≤ 2} = F (2) ? F (0) 1 3 = (1 ? ) ? 0 = . 4 4


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